Mathématiques boyardesques

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Re: Mathématiques boyardesques

Message  Julien le Sam 26 Mar 2016 - 14:26

J'ai fait une erreur de calcul, je propose donc aussi 1/4060

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Re: Mathématiques boyardesques

Message  rhyolite le Sam 26 Mar 2016 - 20:51

Je tente 1/27


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Re: Mathématiques boyardesques

Message  garsim le Dim 27 Mar 2016 - 11:46

1/28 ?  Laughing


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Re: Mathématiques boyardesques

Message  Julien le Dim 27 Mar 2016 - 14:38

0 il a pas le temps xd


Chris K. is watching you, avec modération bien sûr ^^
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Re: Mathématiques boyardesques

Message  Pixelax le Dim 27 Mar 2016 - 23:34

Chris K. a écrit:0 il a pas le temps xd
Mais non, y a pas de piège ! :mdr
C'est encore une mauvaise réponse... No La réponse n'est pas 1 non plus, rassurez-vous.

Si ça peut vous aider, toutes les réponses que vous avez proposées sont en dessous de celle que j'attends. Et je rappelle qu'il n'y a aucun calcul à faire...
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Re: Mathématiques boyardesques

Message  maximax le Lun 28 Mar 2016 - 0:34

Je tente 1/10, même si ça me parait bizarre qu'on ait à faire aucun calcul...
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Re: Mathématiques boyardesques

Message  Pixelax le Lun 28 Mar 2016 - 11:47

maximax a écrit:Je tente 1/10, même si ça me parait bizarre qu'on ait à faire aucun calcul...
OUI ! cheers C'est une bonne réponse ! :bienn
Quelques explications s'imposent on dirait ^^

Le mieux est de faire comme pour le jeu de la Sauvageonne : si le candidat va jusqu'au bout, il a 1 chance sur 9 de gagner, puisque ça revient à ce qu'il choisisse le boyard qu'il ne retournera pas.
Ici c'est pareil ! Le candidat choisit dans quel ordre il essaye les clés ; en particulier il choisit la clé qu'il essaiera en dernier... Il aura donc à essayer les 30 clés si et seulement si la clé qu'il essaye en dernier est une des 3 bonnes clés. D'où une proba de 3/30 = 1/10


Au niveau du classement, maximax prend la tête, mais avec une très courte avance :
Classement provisoire:
maximax - 13 pts
hélium - 12 pts
Chris K. - 6 pts
Super10 - 3 pts


Vous vous en doutez peut-être vu le peu de points en jeu, ces deux premières questions n'étaient en fait qu'une mise en jambe. :ange
Voici la question vraiment intéressante :

c) En moyenne, combien de clés le candidat devra-t-il essayer ? (5 pts)
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Re: Mathématiques boyardesques

Message  Pixelax le Mer 30 Mar 2016 - 15:53

Il semblerait que vous ne soyiez pas très inspirés. C'est parce que j'ai mis 5 points que ça vous fait peur ?  Surprised

La méthode à adopter ici est la même que pour le jeu des barreaux. Il vaut mieux commencer par trouver la loi du nombre de clés à essayer (appelons ça X pour changer), pour pouvoir ensuite calculer l'espérance.

Trouver la loi revient à déterminer P(X=k) pour k entre 3 et 30. Vous connaissez déjà les extrêmes P(X=3) et P(X=30) avec les deux premières questions, à vous d'essayer de généraliser !
Vu le nombre total de clés, c'est inenvisageable de faire un arbre. Là y a pas le choix : va falloir faire du dénombrement... Déterminez le nombre d'issues totales, et le nombre d'issues favorables pour chaque valeur de k (chaque issue doit être équiprobable, sinon on ne s'en sort pas ^^). Pour cela, le mieux est d'utiliser les coefficients binomiaux (oui, encore eux !).

Pour rappel, le coefficient binomial (lire "p parmi n") est le nombre de manières de choisir p éléments parmi n, c'est-à-dire le nombre de manières de faire p croix dans n cases (où chaque case accueille au plus 1 croix).

Y a plus qu'à Wink


Dernière édition par Pixelax le Jeu 2 Mar 2017 - 23:22, édité 1 fois (Raison : Problème de LaTeX)
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Re: Mathématiques boyardesques

Message  garsim le Mer 30 Mar 2016 - 20:30

Pixelax a écrit:Il semblerait que vous ne soyiez pas très inspirés. C'est parce que j'ai mis 5 points que ça vous fait peur ?  Surprised
Essaie de ne mettre qu'un point pour cette question, on verra bien... :ange

En fait, ce qui me bloque, c'est que, par rapport aux barreaux, il faudrait répéter le processus 3 fois... et je vois pas comment modéliser ça.
Pour le nombre d'issues totales, si on utilise les coefficients binomiaux, je pense que ça doit être 4060 (ce qui figurait d'ailleurs dans le résultat trouvé par Chris K.), mais après, pouf ! Quand j'essaie de calculer la proba pour k=4, je tombe sur un truc comme 3/4060, mon petit doigt me dit donc que je m'y prends sans doute mal...

Je tente un petit 10, à pouf comme ça...


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Re: Mathématiques boyardesques

Message  Pixelax le Mer 30 Mar 2016 - 22:25

hélium a écrit:Je tente un petit 10, à pouf comme ça...
Mauvaise réponse No
Pour le coup, c'est vraiment petit oui. ^^ Si on se place dans le cas où il n'y a qu'une bonne clé sur les 30, le candidat a autant de chance de la trouver en n'importe quelle position (entre 1 et 30 donc). Le nombre moyen d'essais est alors de 15,5. Ça ne peut être que plus avec plus de clés à trouver Smile

hélium a écrit:En fait, ce qui me bloque, c'est que, par rapport aux barreaux, il faudrait répéter le processus 3 fois... et je vois pas comment modéliser ça.
Non, pas vraiment. Ou du moins, il ne faut pas voir les choses comme ça, sinon tu ne vas pas t'en sortir ^^
Pour les barreaux, on s'intéressait au moment où le premier palet noir sortait. Là, ce qui importe c'est le moment où la dernière bonne clé est essayée. Le raisonnement est très proche.

hélium a écrit:Pour le nombre d'issues totales, si on utilise les coefficients binomiaux, je pense que ça doit être 4060 (ce qui figurait d'ailleurs dans le résultat trouvé par Chris K.)
C'est une bonne réponse (qui te rapporte 0 point tongue) ! C'est déjà un bon début. En effet, il n'y a qu'une issue favorable au cas k=3, d'où le 1/4060 qu'on retrouve.

hélium a écrit:Quand j'essaie de calculer la proba pour k=4, je tombe sur un truc comme 3/4060, mon petit doigt me dit donc que je m'y prends sans doute mal...
Parfois, il vaut mieux ne pas écouter son petit doigt. Wink
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Re: Mathématiques boyardesques

Message  garsim le Mer 30 Mar 2016 - 23:04

Pixelax a écrit:C'est une bonne réponse (qui te rapporte 0 point tongue) !
Ah ben tu vois, là j'étais moins intimidé par ta question à zéro point. :expdr

Pixelax a écrit:Parfois, il vaut mieux ne pas écouter son petit doigt.
Oui, il vaut mieux un coup de pouce. sort

Pixelax a écrit:Là, ce qui importe c'est le moment où la dernière bonne clé est essayée. Le raisonnement est très proche.
Du coup, pour k = 4, on est bien d'accord que ça veut dire que l'épreuve est réussie avec seulement 4 clés essayés, donc une 4e clé valide, donc trois clés essayées juste avant dont deux valides et une invalide ?
...
...
Oups, attends, en écrivant, je me rends compte que j'avais pas pris en compte le fait qu'on avait une clé en moins à chaque fois. Embarassed
Je reprends donc : pour k = 4, la probabilité serait bien de (proba que la clé invalide sur 4 soit la 3e) + (proba que la clé invalide sur 4 soit la 2e) + (proba que la clé invalide sur 4 soit la 1re) (on oublie naturellement le cas où la clé invalide sur 4 soit la 4e vu que ça revient à trouver les 3 clés valides du premier coup)...
Soit : (1/10 * 2/29 * 27/28 * 1/27) + (1/10 * 27/29 * 2/28 * 1/27) + (9/10 * 3/29 * 2/28 * 1/27) ?

D'ailleurs, en suivant ce raisonnement : t'es sûr que pour k = 3, on a bien une proba de 1/10 tout rond ? confused
De mon côté, j'obtiens 1/10 * 2/29 * 1/28... ou alors il faut vraiment que je change de piste...


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Re: Mathématiques boyardesques

Message  Pixelax le Jeu 31 Mar 2016 - 9:52

hélium a écrit:Du coup, pour k = 4, on est bien d'accord que ça veut dire que l'épreuve est réussie avec seulement 4 clés essayés, donc une 4e clé valide, donc trois clés essayées juste avant dont deux valides et une invalide ?
C'est exactement ça, c'est ce raisonnement qu'il faut utiliser pour déterminer la loi de proba.

L'idée c'est vraiment de compter le nombre d'issues favorables pour un k quelconque (c'est pour ça que je parlais de dénombrement), une fois qu'on a ça c'est gagné puisque toutes les issues sont équiprobables. Il ne faut surtout pas se relancer dans des calculs de probabilités en décomposant clé par clé comme tu l'as fait. En fait, ça revient exactement à faire l'arbre (et des probas conditionnelles, tu te rends compte ? Laughing). Là tu t'en sors parce qu'il y a peu de possibilités, mais ça devient vite ingérable. Tu remarqueras que les trois termes de ta somme sont égaux : c'est normal puisque les issues sont équiprobables !

Je crois que c'est quasiment impossible de trouver le résultat demandé (ou tout au moins de le prouver) sans avoir recours aux coefficients binomiaux. Il ne faut pas avoir peur de les utiliser, au contraire, grâce à eux on trouve la loi de proba sans faire de calculs.
D'ailleurs, c'est tellement puissant qu'on peut simplifier l'expression de l'espérance au point de pouvoir la calculer de tête !

Si ça vous aide, vous pouvez considérer qu'il y a n clés dont p bonnes, le raisonnement est exactement le même. C'est juste qu'ici, contrairement au jeu des barreaux, les valeurs numériques sont plus élevées, donc on ne peut plus analyser tous les cas possibles (ou faire un arbre, c'est pareil).
S'il y avait 1000 clés dont 42 bonnes, le résultat tomberait sans faire de calculs supplémentaires (si ce n'est remplacer n et p par leurs valeurs respectives pour obtenir l'espérance, calculable de tête également).

hélium a écrit:D'ailleurs, en suivant ce raisonnement : t'es sûr que pour k = 3, on a bien une proba de 1/10 tout rond ? confused
Pour k=30 oui. C'est un moyen de vérifier ta formule d'ailleurs.
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Re: Mathématiques boyardesques

Message  garsim le Jeu 31 Mar 2016 - 11:44

En fait, je suis persuadé qu'on peut se ramener à une loi discrète usuelle, mais je vois pas trop laquelle pour le moment. Je pensais à la loi binomiale au départ, mais le problème de la cellule qui rétrécit semble plutôt être similaire à un tirage de Bernoulli sans remise (on ne va pas réessayer les clés qui ont déjà été essayées).
Avec quelques petites recherches, la seule loi qui semble correspondre aux paramètres du problème semble être la loi hypergéométrique (qui, manque de chance, est la seule que je n'ai jamais étudiée à l'école Laughing )... mais j'ai un peu de mal à en définir les paramètres dans le cas demandé de calcul de moyenne.

Je pense que je vais revenir quand ce sera un peu plus simple... ^^'


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