Combinaison (2021)

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Pour une fois que l'on a une épreuve de chance qui ne se résume pas à un simple pile ou face, je ne vais pas bouder mon plaisir de l'étudier en détail !

Le but pour le candidat est de trouver la position des 3 boules bleues (ou des 2 boules blanches, c'est équivalent) sur les 5 emplacements disponibles. C'est naturel de d'abord se demander le nombre total de combinaisons possibles. Comme il n'y en a pas beaucoup on peut les lister (sinon utiliser un coefficient binomial pour ceux qui connaissent ^^), on en trouve 10 :

Liste :

Si le candidat n'avait aucune indication entre les essais, il aurait donc 3 chances sur 10 de gagner. Là c'est évidemment plus.

Pour clarifier les choses, je vais noter A B et C les positions des balles bleues dans la bonne combinaison et D et E les positions des blanches. Allons-y doucement, essai par essai, et étudions déjà les résultats du premier.

• Déjà, évacuons tout de suite le 0 qui ne peut jamais être affiché, au premier essai comme aux suivants
• Le 3 est possible au premier essai, c'est-à-dire que le candidat a directement trouvé la bonne combinaison. Ça arrive avec proba 1/10 grâce à ce qu'on vient de dire.
• Au contraire, le candidat peut n'avoir qu'1 seule balle bien placée. Cette balle peut être en A, B ou C, ça fait 3 possibilités. Il n'y a alors plus le choix pour les deux autres balles bleues, qui sont forcément en D et E. Le 1 arrive donc avec proba 3/10.
• Pour le 2 c'est un peu plus pénible à compter, mais ça regroupe en fait toutes les configurations restantes, c'est à dire 10-1-3=6. Le 2 est donc affiché avec proba 6/10. Sinon, on peut se rendre compte que ça revient à placer une boule blanche en A B ou C (3 possibilités), et dans chacun de ces cas, placer une boule bleue en D ou E (2 possibilités). On retrouve bien les 3×2 = 6 possibilités.

À présent, regardons dans chacun de ces cas comment le reste du défi va évoluer, et surtout quelles sont les chances de gagner en tirant profit de l'information qu'on a eue. Je numérote les cas en fonction du résultat affiché au premier essai

► Cas 3 (proba 1/10)

Là c'est facile, on sort les cotiollons, la partie s'arrête directement. Ça contribue donc à la proba de victoire à hauteur de 1/10, rien à dire de plus.


► Cas 1 (proba 3/10)

On sait qu'on a 1 seule balle bleue bien placée. En d'autres termes on sait que là où on a mis des balles blanches au premier essai se trouvent forcément deux balles bleues ! Reste à savoir laquelle des trois balles bleues que l'on avait mise est bien placée. Comme il nous reste deux essais, on a alors 2 chances sur 3 de s'en sortir dans ce cas. Comme ce-dernier arrive avec proba 3/10, au global la probabilité d'avoir gagné et d'avoir obtenu 1 au premier essai est de 3/10 × 2/3 = 2/10


► Cas 2 (proba 6/10)

Là c'est plus délicat. Dans les faits, on doit transposer une balle blanche et une balle bleue. Il y a 3 balles bleues et 2 balles blanches, donc 6 configurations différentes ici. Voyons ce qui peut se passer au 2e essai

• C'est possible d'obtenir 3 si on choisit bien la bleue et la blanche, soit une seule configuration sur les six dont je parlais. Ça arrive donc avec proba 1/6.
• Pour obtenir 1 il faut à la fois mal chosir la bleue (2 possibilités) et la blanche (1 seule possibilité). Ça fait donc 2 configurations qui correspondent à ce cas, qui arrive donc avec proba 2/6.
• Comme ci-dessus, le reste des cas correspond au 2 pour ce deuxième essai, soit 6-1-2 = 3. Donc il arrive avec proba 3/6. (Sinon on peut dire qu'il faut bien choisir la bleue ou la blanche mais pas les deux, on s'en sort aussi.)

Comme ci-dessus, on détaille ce qui se passe dans chacun de ces sous-cas

►► Cas 2.3 (proba 6/10 × 1/6 = 1/10)

On a gagné au deuxième essai, au global arrive avec proba 1/10.

►► Cas 2.1 (proba 6/10 × 2/6 = 2/10)

Grâce au 1 du deuxième essai, on sait que les positions des balles blanches sont bleues. Reste à déterminer où se trouve la troisième, au choix parmi les deux autres balles bleues du premier essai. Donc reste deux possibilités, si on en est là on a une chance sur deux de gagner. Comme ce cas se produit avec proba 2/10, au global la probabilité de gagner et d'être dans ce cas 2.1 est de 2/10 × 1/2 = 1/10.

►► Cas 2.2 (proba 6/10 × 3/6 = 3/10)

Ce cas est le plus pénible. Pour y voir plus clair, je trouve que le mieux est de jouer façon Qui est-ce ? en éliminant les possibilités incompatibles. Tous comptes faits il en reste 3 possibles, donc une chance sur trois seulement de s'en tirer si on est dans ce cas. Au global, la proba de gagner et d'avoir obtenu 2 et 2 est de 3/10 × 1/3 = 1/10.


Bref, si on fait les comptes en additionnant toutes les probas vertes, on arrive au cumulé à une proba de victoire de 6/10. Donc plus que le Fakir et la Roue du destin (du moins en théorie, parce que en pratique euh... )